第686章無盡路途，不可達基數(十分艱澀，謹慎觀看)

    在翻閱了那已然隕落的三個世界基數級玄掌的記憶之後，穆蒼便獲曉。

    那盤踞於這片廣袤疆域羣落中的無窮盡玄掌，其實並非羣龍無首各自爲戰，而是存在着一個實質意義上的最高統領。

    這位的總攬此方疆域羣落一切軍務及權力的統領，在掌道者文明的職位體系中，即喚作「鎮陲總督」。

    這個稱呼，顧名思義便是指鎮守邊陲地帶的總督之意。

    而這位總督，在那仨玄掌的記憶裏，就恰恰是一尊貨真價實的不可達基數級掌道者。

    同時，這位總督亦是此方疆域羣落，唯一的不可達基數級玄掌。

    並且，是強不可達基數。

    除卻這位總督之外，其他所有玄掌則都爲世界基數級，或者說都處在世界基數這個龐大的基數範疇裏。

    這，也是完全可以理解的。

    姑且不論那不可達基數的偉岸與遙遠，要知道單單在那世界基數範疇內，就完全可以劃分出無窮無盡之層次，且每一層次間的差距，亦是無限無數無邊無際。

    那麼這所謂的〖無限無數無邊無際〗，到底又有多大呢？

    可以這樣理解。

    如果說，從最小的無窮——??啓程出發，抵達至首個世界基數wc的路途有多麼遙遠多麼漫長。

    那麼從首個世界基數wc出發，到達那1-世界基數wc的路途，就同樣有多麼遙遠多麼漫長，甚至更遙遠更漫長。

    爲什麼會這樣呢？

    因爲那1-世界基數wc的本質，即是在某座ZFc公理系統模型已引入首個世界基數wc公理模型的基礎上，再次通過種種極盡複雜的方式，達到那可以再度封裝成爲ZFc模型的高度。

    同樣的道理，從那n-世界基數到達n+1-世界基數的路途，或者從那x-世界基數到達x+1-個世界基數的路途，乃至從k-世界基數抵達那k+1-世界基數的路途，亦是一樣的遙遠與漫長。

    這些解釋和類比，乍一看去確實有些讓人難以理解。

    所以講的再透徹一點，即是任何的大基數公理，其實都遠遠超越了ZFc公理系統模型本身的證明能力或者說統轄範圍。

    如果用仙俠風腔調來描述，便是任何一個大基數都是一尊過於強大，強大到倘若僅僅依靠ZFc公理系統自身能力，絕無任何可能孕育而出的先天混沌魔神。

    因此，只有在被那名爲大基數的混沌魔神入駐之後，‘白板’狀態的馮·諾依曼宇宙V才能夠達到更高的強度，以及擁有更加豐富多彩的性質。

    事實上，對於那無數的有窮、無窮、超窮位階生命體來說，康托爾絕對無窮就約等於他們認知範圍當中的所謂“全知全能”。

    可本身一致性強度已然等於乃至凌駕於康托爾絕對無窮的ZFc模型，在擁有了任意大基數公理之後，其強度居然還能夠暴漲到那用不可思議都無法描述的更高層面。

    由此便可知那大基數的強度是有多麼恐怖了，恐怖到甚至是用遠遠超越了所謂“全知全能”級別康托爾絕對無窮之倍數這類話語，都壓根不足以形容。

    總之，當世界基數wc在引入w函數再根據ZFc的替換公理，然後通過進行類似?函數一樣的sup操作，來不斷提升等級之際，包含並容納那世界基數wc的萬有數學宇宙，亦會同樣一齊不斷攀升晉級。

    當這種晉階真正呈現於具象實體世界之中時，那個數邏疆域便會如同一座通天塔般，在不斷暴漲式擴展地基的同時，亦不斷瘋狂的堆高樓層，並且擴展與堆高的難度幅度永遠都是那麼恐怖。

    可這種攀升的方式，也是有其極限的，這一極限便是世界基數的不動點，也可稱其爲w函數的「世界點」。

    在此之上，也赫然存在着用‘數之不盡’這一詞彙，都遠遠無法形容其具體數目的一個個世界基數不動點。

    但這些世界基數不動點都會被k=k?世界基數……即「偉大世界基數」死死攔截在下方。

    無論前面那所有世界基數互相之間的差距有多麼巨大，對於偉大世界基數而言都是一樣的渺小。

    因爲這些世界基數的共尾數，俱都只有w。

    至於所謂的「共尾」則屬於集合論當中一個重要數學概念，主要用於描述良序集無界子集以及序列的特性還有精細程度。

    說白了就是諸多遞增序列在只能用a以下序數時，需要至少多少項才能夠抵達，所以也可用「梯度」這種詞彙來指稱。

    而若是將偉大世界基數以下所有世界基數共尾度爲w這一概念展開來講，即是對於所有n∈N，最小∑n正確基數之序列便是k的下一個長度爲w之基本列，同時對於任意一個n都可用∑n+1來描述某一∑n正確基數，因此其強度皆在ZFc公理模型範疇內。

    可是對於基本列整體而言並不存在某個∑m語句可以描述所有∑n，因爲不存在大於所有自然數的自然數，所以k的這一基本列在Vk內部無法定義，於是便不能作爲一個集合適用於替換公理，此基本列必須要在ZFc模型之外，即Vk+1中才能夠被定義。

    總之，在一系列世界基數不動點之上的便是偉大世界基數，可同樣在偉大世界基數之上亦有無窮無盡無限無數個w函數不動點，並且這些互相間距離無比遙遠的不動點，也都擁有同一個共尾數。

    所以到了這一層面後，亦可以極爲粗糙的將共尾數，視作爲不同層次間的強度度量衡量標尺。

    而距離這共尾w的一系列所有世界基數‘最近’的更高共尾數層面，便是與??等勢的w1。

    在此之上，還有與??等勢的w?、與???等勢的w??、與????等勢的w???……等等各類各樣差距更是巨大到了完全沒有邊的共尾數。

    這些具備不同共尾數的各類世界基數，亦通常會被命名爲帶有各種複雜前綴名或者後綴名的稱呼。

    並且，被這些各級各階每一個共尾數所‘統治’的龐大‘領土’之內的那些個各級各階世界基數互相之間，亦會存在有無窮無盡復無盡無窮恐怖到無法言說無法形容的巨大差距。

    而若想要跨越這一重又一重天淵之距，則又會牽涉到所謂「無界閉集」的數學概念。

    關於此概念，還有一個較爲簡單的名爲「無界集合」的前置型概念。

    對於此概念若舉例說明便是，譬如位於w範疇內的自然數在w中無界，又因w=N，所以N便是w的無界非真子集。(「無界」概念的具體定義詳見677章)

    既然存在‘非真’，那麼就肯定會存在‘真’。

    譬如，對任意n∈w仍有n+1∈w，無存最大自然數，所以全體正偶數便是w的真無界子集。

    這個概念比較簡單，但在此之上的「無界閉集」概念就要考慮的多…不是，是複雜的多了。

    還是舉例說明。

    譬如，若c是x無界子集，對所有極限序數呈a

    如果將這段話展開來講，便可以認爲對於那一系列a∈c所取的極限點，結果仍在c當中，也就是說c對於取極限點這一操作完全封閉，求取c中一系列元素的sup也仍然留存於c中。

    所以，無界閉集的性質就像一把全無盡頭的過濾網，可不斷濾選出愈來愈極限的‘元素’，但卻永遠不會跑出集合範圍。

    總之，通過使用包括「無界閉集」在內的諸多‘工具’，沿着那貫穿一整個世界基數的漫長共尾數‘路徑’，便可以直通不可達基數。

    那麼……不可達基數的共尾數，又會是什麼呢？

    答案便是……它自身。

    是的，就如同神話傳說當中代表着「永恆完美」「無限循環」以及「自有永有」等等至高概念的那一條用自己嘴巴咬住自己尾部類似莫比烏斯環帶的銜尾之蛇一般，首個不可達基數其共尾數……赫然也是不可達基數。

    首個不可達基數，即是一種在ZFc公理系統模型基礎上加上相應不可達基數公理後，才能夠存在的既是強極限基數又是正則基數的不可數基數。

    所謂正則基數，意指的便是共尾數等同於自身的基數。

    用數學語言來表達，即是cf(k)=k。

    這裏的cf(k)，便是以k爲上確界的遞增序列的最小長度。

    cf可以定義在所有序數上，但正則序數卻必然是基數。

    這裏的“^”是基數乘方之意，因而此數式之意即是k無法通過小於k的基數取冪集來達到。

    同理則可得，w即是一個強極限基數，因爲有限集合之冪集必然還是有限集合。

    又因爲w也是正則基數，所以也可以說，倘若不要求「不可數」這一必要條件的話，那麼w就屬於是最小的不可達基數。

    想想看，與w相比無論1還是ScG(3)其實都沒有什麼分別，由此可見從那下方的自然數當中任意一點往上攀爬，都永遠無法抵達w。

    所以從正則性和極限性來看，w和w之下的一切有限數比起來，就等於是有與無的關係，完全屬於概念上的斷層。

    當然，w和不可達基數相比只是某種意義上的‘明星臉’而已。

    真正的不可達基數下方，是有着無界多世界基數層級的，遠比想象之中還要更爲遙遠與深邃，強度亦是斷層式的龐大。

    許多知性生命都有一個極爲不嚴謹的認知，即是認爲……如果說w是阿拉伯數字堆不出來的上確界，那麼首個不可達基數應該便是阿列夫函數堆不出來的上確界。

    但這個認知是錯誤的，不可達基數遠比這個認知要巨大的多的多的多。

    若用真正的數學語言來表達，即是……對於極限序數a，有cf(?a)≤a，又因a≤?a，因此若?a爲弱不可達基數，那麼cf(?a)=a=?a。

    至於更高的強不可達基數，則是在弱不可達基數的基礎上，增加了一個條件或者說要求。

    即是……對於任意基數λ＜k，有2^λ＜k。

    這列數式表達之意，便是若k爲弱不可達基數，且滿足上面要求，那麼就可升爲強不可達基數。

    此話當中的「強弱」即指範圍之意，「弱」指代的是要求低、範圍廣，「強」則指代的是更具體明確了爲何該大基數不可到達。

    由強不可達基數的定義便可知，它一定是弱不可達基數，即必然是正則且不可數的極限基數。

    根據康托爾定理，對於任意基數λ，有λ＜2^λ恆成立，這表示可通過不斷取冪集之方式來獲得更大的基數。

    但不可達基數則是說，若k是強不可達基數，那麼無論從比它小的哪一個基數λ＜k開始，無論如此取冪集2^λ，都無法達到k。

    最終就可以證明，如果k是強不可達基數，則對於任意序數a＜k，所以就有2^?a＜k。

    而那位鎮陲總督，恰恰就是一尊……強不可達基數級掌道者。

    “所以……”

    穆蒼摩挲着下巴輕笑道，“那個勞什子總督，到底會有多強大呢？”

    懷揣着好奇，穆蒼一步就踏出了自己所在的哥德爾可構造宇宙，通過那隱匿而複雜的疆界路徑，踏足到了另一方馮·諾依曼宇宙當中。

    而在祂這一尊‘活體’世界基數公理離開之後，原先那座哥德爾可構造宇宙就剎然跌落到了普通真類層次，變的平庸無奇。

    與此相反的是，那一座有幸被穆蒼所踏足的萬有宇宙真類疆域，則瞬然位階瘋漲驀地達到了世界基數級。

    這種神奇的現象，便是【無絕祕策】的逆天威能所造成的可怖結果。

    完全不需要穆蒼自己啓動「萬用至理」，此逆天神技自行就會將其腳下所踏之疆域的最高主導權，強行納入到了祂的掌控之中。