第587章超越ω級，層層序數(提示，本章略複雜)

    在【超限序數】這一數學理論體系中，存在着所謂的三類條件。

    一、反自反：

    即，如果a≤b，且b≤a，則a=b。

    二、傳遞性：

    即，如果a≤b，且b≤c，則a≤c。

    三、完備性：

    若a≤b或者b≤a，那麼便不存在無法比較的情況。

    事實上，一切知性生靈所知的自然數範疇到實數範疇內的‘≤’都符合這些性質。

    這些性質，也正是奠定各類集合間【全序關係】的基礎。

    至於所謂的全序關係，便是集合層面上的比大小操作。(詳見580章)

    任意兩個良序集合，假若可以建立一一對應關係。

    那麼，就可以說其是【同序數】。

    其實不僅僅是序數，在龐大的數學領域中，亦存在着大量類似通過某種一一對應的變換，來建立兩個對象性質相似性的定義。

    其名稱，也與‘同序數’這一概念頗爲近似。

    譬如同構，同態等等等等。

    如果要將【同序數】這一概念，再進行一番更爲細緻也更爲形象的比喻性描述，那麼就可以用【銀河霸主】這一大境界來作例子。

    在銀河霸主大境之中，若以實力高低爲憑，從最低的一階開始一路往上數。

    二階、三階、四階……一直數到最高的十階頂尖霸主。

    那麼這套力量等級體系，就共計擁有十個階數。

    其按照實力高低，從小到大就構成了一個良序集。(良序集定義詳見580章)

    與此同時，自然數從1到10也能構成一個良序集。

    顯然，銀河霸主一～十階，與自然數1～10，是可以一一對應的。

    並且這兩者的對應結構，也是保持了順序的。

    所以，就可以說【銀河霸主】等級體系，與自然數1到10的這個集合，爲【同序數】。

    也可以更簡單的說成，序數是10。

    由此推及到更大的層次，那麼全體自然數，顯然也能構成一個全序集，或者說一個良序集。

    只是，其並非有限集，而是無窮集。

    這個無窮集，就是最小的超限序數w，亦是穆蒼初登無窮之際的實力層次。

    當然，只是祂初登無窮時的層次。

    至於現在的穆蒼，則早已遠遠凌駕在了w級數之上不知凡幾。

    可是w……就已然是切切實實的無窮大。

    對於無窮大，還能怎樣超越呢？

    答案是，可以超越。

    只不過，需要打開腦洞，展開一場思維風暴。

    開始！

    提問，怎樣在自然數集合w中，通過增加一個元素，來得到一個更高階更巨大的超限序數呢？

    乍一想，這好像是無法做到的。

    因爲在自然數集合w中，已經存在了無窮多個元素。

    若想要再加入一個元素，同時還要保持w良序集的性質，這又該往哪裏加呢？

    先不要思考答案，可以將這個問題翻轉一下。

    翻轉之後即是……能否從全體自然數w中，拿走足夠多的元素，用來構造一個更小的無窮序數呢？

    只要稍微思考一下，便會知曉這一問題和【希爾伯特旅館悖論問題】十分相似，或者說大差不差，都屬於是對無窮集合的思考與討論。

    總之，即便從全體自然數集合w中拿走任意多的元素，可只要還剩下無窮多個元素，那麼w便還是與全體自然數同序數。

    既然問題已經翻轉過了，那麼現在，就將結論也翻轉一次吧。

    翻轉之後便是，往w中添加任意多元素，是毫無意義的。

    即便加了，得到的也依然是與自然數集合同等大小的序數集。

    所以，現在應該要怎麼做呢？

    要怎樣做才能突破w，到達那更高階的無窮大層次呢？

    很簡單，在全體自然數【末尾】，添加一個元素。

    可是，全體自然數有無窮多個，要如何操作，才能在其按照常理根本就不可能存在的所謂【末尾】，添加上一個元素呢？

    注意，這就是【超限序數】理論中的關鍵點。

    至關重要！

    如果能夠理解這一關鍵點，能夠理解如何〖在全體自然數末尾添加一個元素〗這一操作。

    那麼便能十分容易，甚至可以說是水到渠成的完全理解穆蒼現今所在的實力層次。

    可若是無法理解。

    那麼，就將穆蒼當成一般的無窮大吧。

    因爲對一切有限數生靈來說，無論哪一種級別的無窮大，都是沒有多大區別的，都是永遠無法企及的神之層次。

    現在，開始腦洞。

    先進行一番思考，爲何要在全體自然數【末尾】添加一個元素？

    原因，就在於想要得到一個比w更大的超限序數，繼而去靠近去理解穆蒼所在的層次。

    按照序數理論中的定義，序數必須是一個可以順次排序的良序集。

    那麼想要‘擴大’一連串已然排列好的全體自然數，當然就只能在其【末尾】，進行元素添加操作。

    但是按照原先全體自然數w中自帶的比大小方法，顯然不可能找到任何一個會比全體自然數都大的數。

    因此，這就需要略微修改一下序數理論中有關於【序關係】的定義，繼而去尋找另一種比大小的方法，使得突破w這一趟探尋，能夠繼續進行下去。

    於是一直這樣探尋下去，不斷探尋下去。

    最終，便可以發現在那【集合理論】體系中，天然就存在着一種比大小方法。

    即是【子集】，或可稱【包含】關係。

    由此，就可以嘗試着將自然數，通過使用【集合】的方法，進行一番再定義。

    特別需要說明的是，這種方法在諸多三維宇宙的地球人類文明中，是由博弈論之父和計算機之父——約翰·馮·諾依曼創立出來的。

    下面開始進行：

    因爲最小的集合是空集，那麼就可以把0定義爲空集。

    即：0=?

    接着對於1，便可以很自然的定義成擁有一個元素的集合。

    這個元素，就是0。

    即：1={?}={0}

    繼續，對於2，亦可以將其定義爲：

    2={0，1}

    對於3，則可以定義爲：

    3={0，1，2}

    由此，不斷的類推下去。

    那麼，就可以最終推論出全體自然數N，便是以0到n-1，共計擁有n個元素的集合。

    即：N={0，1，2，3……n-1}

    而全體自然數即便進行過再定義後，再結合【子集】關係，也仍然會是一個良序集。

    因爲，其符合【序數理論】的種種條件。

    到了這一步後，就可以考慮在全體自然數集的【末尾】，再加入一個元素了。

    然後……等一等！

    有沒有發現一個規律，關於構造自然數的規律。

    即是每一個自然數在被構造出來後，其實都是將前一個自然數【自身】，作爲一個元素，加入到其【自身】的集合之中。

    想一想，1、2、3、4……是不是都是如此。

    是的，確實如此。

    所以，現在如果將全體自然數集合本身，作爲一個元素，加入到自然數集合中，會得到什麼呢？

    試一試。

    很多時候，人們都慣常性的將自然數集合，記作N。

    不過，在序數理論體系中，全體自然數集合，則通常會被記作爲w。

    因此，w就可以={0，1，2，3……n}

    那麼，如果將w加入到自身集合中，即是：{0，1，2，3……n……w}

    所以這個集合，良序嗎？

    是的，它是良序集，貨真價實。

    因爲在其之中的任何兩個元素，都可以進行大小比較。

    並且w之中，包含了所有其他元素，其他所有元素也都是w的子集。

    所以w在排序之時，就應該排在最後。

    毫無疑義。

    總之，〖在全體自然數末尾添加一個元素〗這一操作，此刻終於成功了。

    對於w的突破，也終於成功了。

    而通過這種操作所得到的新超限序數，也就是前面的那個{0，1，2，3……n-1……w}。

    即是，w+1。

    注意，這裏的+1不是加了一個自然數1，那是純純的兩碼事。

    同時w，也不能簡單的用加減乘除四則運算來折騰，那是大錯特錯。

    因爲集合序數的和，是在兩個良序集的無交並上定義一定良序關係後所定義的。

    另外，在得到w+1這一無法與自然數集建立一一對應這種次序關係的更大的超限序數後。

    便可以通過復現先前w加入自身得到w+1的操作，來得到w+2。

    再將w+2加入自身，來得到w+3。

    不斷重複這種操作，便可以得到w+4、w+5、w+6、w+7……

    以此類推，最終在進行了無窮多次這類操作後，就可以到達這條無窮復無窮之路的極限——w+w。

    也就是，w·2。

    w，可稱之爲第一重無限，w·2則可稱爲第二重無限。

    二者的差距從某種意義上來說，用單薄的‘無窮’二字都不足以形容。

    另外要注意，w·2≠2xw。

    w·2，是等於w+w，也等於wx2。

    也就是說，2xw≠wx2。

    這兩者，是完全不同的‘東西’。

    後者，是一個遠比自然數集合w巨大許多許多許多的更高階無窮序數。

    而在到達了這一層次後，與先前的‘加法’情況類似，序數之中，也是不存在乘法交換律的。

    如果單單將w·2理解成2xw，那也同樣會大錯特錯。

    因爲2+2+2+……不斷加下去，共計加上w次，最後得到的也依然會是w。

    總之在得到w·2後，便可以繼續通過先前那套方式，無窮復無窮繼續得到w·2+1、w·2+2、w·2+3、w·2+4……

    以此類推，最終得到w·2+w。

    也就是，w·3。

    既然有了w·3，那麼自然就能順理成章的通過復刻先前無窮復無窮的方式得到w·4，w·5，w·6……最終得到wxw，也就是w2。

    這，又是一個遠遠超越前面所有超限序數不知凡幾的更高階超限序數。

    同時，既然有了w2，那自然也可以通過不斷進行種種比先前更加複雜的操作，來得到w3，w?，w?，w?……

    最終突破到w?，也就是w^w，亦可寫作w↑w。

    而穆蒼，及其腳下那片無垠無際的時光汪洋，就恰恰處在w↑w這一巨大超限序數之上某兩個不算太遙遠的深邃層次裏。

    只不過時間汪洋的層次要低一些，穆蒼則要高一些。

    總之，兩者間的差距，總體上不算特別‘大’。

    這，也正是穆蒼爲何能夠如此肆意踐踏，那無邊蔓海無窮過去未來的原因。

    因爲在那實無窮領域中，哪怕只差上一點點，也必然會是無限復無限的差距。

    另外，穆蒼亦清楚的知曉，混沌之妄的力量，絕不僅僅只是如此。

    〖w↑w之上〗，也絕對不是祂實力暴漲的盡頭。

    是有某種力量，壓制了穆蒼，壓制了混沌之妄。

    “這股壓制力量的源頭……意義之矢。”

    穆蒼緩緩昂首，幽幽就看向了那支存在於時光汪洋上方無窮無盡遙遠之處的……巨大青銅箭頭。

    沒錯，就是那支懸立於無邊蔓海無盡過去未來之上的神祕青銅箭頭——意義之矢，壓制了祂的實力增長。

    不止如此。

    穆蒼赫然能感覺到，下方那片無垠無盡的時間汪洋，亦被這一支來源未明的青銅箭矢給狠狠壓制了。

    如果沒有意義之矢的壓制，時光汪洋的量級層次，很有可能還會拔升好多個等階。

    可對於這支散發着如此恐怖壓制力量的意義之矢，穆蒼卻從冥冥之中獲曉，或許其……根本就沒有要去刻意鎮壓什麼，去刻意束縛什麼。

    這支箭矢，可能依然處在某種極深極深的‘沉眠’狀態中。

    換而言之，穆蒼以及時間汪洋所承受到的那股恐怖壓制，大概率就只是意義之矢自然而然散發出的些許威壓而已。

    也就是說，這支神祕的意義之矢只是單純的懸在那兒，就狠狠壓制了穆蒼與時間汪洋。

    從而讓穆蒼，無法晉升到自己本該晉升到的層次。

    也讓時光汪洋，從自身那本該矗立的層次上狠狠跌落而下。

    不過對於此，穆蒼也有解決的辦法。

    方法便是，離開這片時間汪洋即可。

    而最簡單的遁離方法，便是完成昊陽法第九境，凝結無窮秩點，脫離現象界，踏入本質界。