三百三十四節 真或假

    ，

    “複合命題由一個或多個簡單命題合成，那麼其合成的方式，我們稱之爲‘聯結詞’。比如，‘這張卡片不是奴隸’，‘這張卡片是16歲以上的男人’，‘這張卡片是原籍福建或海南的人’，這是三個複合命題。”

    “第一個命題，是對‘這張卡片是奴隸’這一簡單命題的一種否定，合成方式是‘非’；第二個命題，由‘這張卡片是16歲以上的人’和‘這張卡片是男性’兩個簡單命題構成，合成方式是‘與’，也就是兩個簡單命題同時爲‘真’時，複合命題爲‘真’；而第三個命題，由‘這張卡片是原籍福建的人’和‘這張卡片是原籍海南的人’兩個簡單命題構成，合成方式是‘或’，也就是兩個簡單命題中的任意一個爲‘真’時，複合命題爲‘真’。”

    “所以，我們有了聯結多個命題使之成爲更大命題的三種手段，與，或，非。其實還有另外兩種，不過暫時與分類機的設計無關，這裏先略過。”

    “我們用符號來表示命題和聯結詞，則任何一項查詢，都能表示爲一個表達式。顯然，令表達式爲‘真’的卡片，就是我們要尋找的卡片。而分類機的作用，就是對所有卡片，判斷這個表達式是否爲‘真’。”

    “因此，凡是我們的分類機能夠判斷‘真/假’的表達式，就是我們能夠解決的問題，凡是我們的分類機無法判斷真假的表達式，就是我們不能解決的問題。”

    “這就是我們對這一問題的初步抽象。”

    馮諾在黑板上寫下了幾個奇怪的符號v（或）、∧（與）、┐（非），看起來像是旋轉了90度的大於號和小於號，還有倒過來的拉丁字母l。

    “好，現在可以寫一下

    ‘原籍福建或海南的人’這一命題的表達式了，海南是100，福建是122，所以我們令

    命題a：‘地區碼第1位爲1’，

    命題b：‘地區碼第2位爲0’，

    命題c：‘地區碼第3位爲0’，

    命題d：‘地區碼第2位爲2’，

    命題e：‘地區碼第3位爲2’，

    則，複合命題的表達式爲：‘（a∧b∧c）v（a∧d∧e）’。”

    “我們的分類機是如何判斷真假的呢？是通過檢驗穿孔卡是否穿孔，也就是說，分類機的每個讀卡單元，能夠判斷複合命題中的一個簡單命題的真假。同時，通過一個控制繼電器，我們可以讓每個讀卡單元，判斷僅有1個‘非’聯結詞的複合命題，也就是一個簡單命題的非命題的真假。”

    “假如我們僅有1個讀卡單元，那麼僅此而已。但是現在我們有10個讀卡單元，所以事情要複雜一些。不過仍然是可以分析的。請大家注意，每個讀卡單元側面的卡袋，裝入的卡片的特點：

    k號卡袋中的卡片，是1~k-1號命題的‘非’命題的‘與’、再‘與’k號命題。

    經過k號讀卡單元的剩餘卡片，是滿足1~k號所判斷的命題的‘非’命題的‘與’。

    1~k號卡袋裏面的卡片，合起來是滿足1~k號所判斷的命題的‘或’。

    假設我們的讀卡單元所判斷的簡單命題（或簡單命題的非命題）爲p1，p2，，p10。

    則我們所能夠判斷的命題表達式爲：

    1號卡袋：p1

    2號卡袋：┐p1∧p2

    3號卡袋：┐p1∧┐p2∧p3

    4號卡袋：┐p1∧┐p2∧┐p3∧p4

    10號卡袋：┐p1∧┐p2∧∧┐p9∧p10

    最終剩餘卡片：┐p1∧┐p2∧∧┐p10

    最後由於這些卡片被彼此分開，所以我們最終可以自由選擇任意多個卡袋的卡片合在一起，也就是上述表達式之間的‘或’；其中最重要的，是從1~k號的連續k個卡袋中的卡片合在一起，其結果爲：p1vvpk，即以p1爲開頭的連續‘或’運算；

    而經過k號讀卡單元後機器上剩餘的卡片，可表示爲┐p1∧∧┐pk，即以┐p1爲開頭的連續‘與’運算。”

    “所以，凡是能變換成上述形式表達式的命題，就是分類機能夠查找的，否則，就是分類機不能查找的。”

    “我給加奈出的問題，找出三亞大區除奴隸以外的卡片，可以分解成如下的簡單命題或簡單命題的非命題：

    命題a：‘地區碼第1位不爲1’，

    命題b：‘地區碼第2位不爲0’，

    命題c：‘地區碼第3位不爲0’，

    命題d：‘地區碼第4位不爲1’，

    命題e：‘地區碼第5位爲1’，

    命題f：‘地區碼第5位不爲2’

    命題g：‘地區碼第6位不爲9’

    命題h：‘地區碼第7位不爲9’

    ┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧e，這是10011，三亞榆林，它符合5號卡袋的表達式，所以這些卡片位於5號卡袋中，可以記爲p5。

    ┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧g，這是100120~100128，三亞田獨11~89公社，它符合7號卡袋的表達式，所以這些卡片位於7號卡袋中，可記爲p7。

    ┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧┐g∧h，這是1001290~1001298，三亞田獨90~98公社，它符合8號卡袋的表達式，所以這些卡片位於8號卡袋中，可記爲p8。

    後兩者合起來，即p7vp8，是三亞田獨，但不包括奴隸。三者全部合起來，即p5vp7vp8，是我們所要的結果。因爲這個表達式符合我們上面的形式，所以分類機可以解決。”

    “而‘（a∧b∧c）v（a∧d∧e）’，無論我們怎樣變換，是不能變換成上述表達式的，因而是當前的分類機所不能解決的。”

    “好，問題來了，怎樣變換表達式？”這時他看向了馮珊。

    “這是0和1的布爾代數。”馮珊答道，她的眼睛裏透出着迷的神色。

    馮諾點點頭，錢羽之和李加奈此前已經完全不知所云了，不過聽到布爾代數，他們有點反應過來了。

    馮諾只教過他倆最簡單的布爾代數，以至於他們以爲布爾代數就是0和1的布爾代數。

    “然後呢？”馮諾繼續引導。

    “布爾代數是有補分配格！交運算是‘與’，並運算是‘或’，求補是‘非’，滿**換律、結合律、吸收律，‘與’和‘或’彼此滿足分配律！0-1布爾代數還滿足冪等律！”

    這是布爾代數的理論部分，錢羽之和李加奈又糊塗了。

    “很好。”馮諾表揚了一句。

    “不過，”他又補充說，“格的基本運算律只是‘與’和‘或’兩種運算之間的，包括交換律、結合律、吸收律、冪等律、分配律等等。在命題邏輯裏，還要考慮‘非’的性質，這裏我暫時只說兩點：其一，雙重否定律，很顯然，命題的非命題的非命題，是其自身。其表達式的形式是——”

    馮諾在黑板上寫下：

    ┐┐a=a；

    “其二，德……唉，就叫‘與或轉換律’吧，兩個命題的合取的非，是兩個命題的非的析取；兩個命題的析取的非，是兩個命題的非的合取。其表達式的形式是——”

    他又寫下：

    ┐（a∧b）=┐av┐b，

    ┐（avb）=┐a∧┐b。

    “我舉兩個例子你們就明白了，‘不是16歲以上的男人’，也就意味着是‘16歲以下的人’或‘女人’；‘不是原籍海南或福建的人’，也就意味着‘不是原籍海南的人’並且‘不是原籍福建的人’。”

    然後他繼續說道，“根據這些運算律，可以把邏輯命題的表達式變換成各種形式，不過，一般我們會變換成連續‘與’的‘或’，或者連續‘或’的‘與’，稱爲析取範式和合取範式。”

    “好，有了理論工具，我們就能夠發現，目前分類機在設計上存在局限性。如果分類機能夠處理一般的析取範式或者合取範式，就不存在從設計上無法解決的問題了。——比如‘找出原籍福建或海南的人’。”

    “這就要求我們的每個讀卡單元，不是僅能判斷一個簡單命題的真假，而是能夠判斷多個簡單命題構成的合取項或者析取項的真假。反映在分類機設計上，就是把讀卡單元目前僅包括1個工作繼電器和1個控制繼電器的簡單電路，改造成包含多個繼電器的開關電路。”

    “羽之，你這段時間已經很熟悉電路了。你來組裝一個有兩個開關和一個燈泡的電路，要求‘只有2個開關都閉合，燈泡才亮’。”

    馮諾指了指一旁的工作臺。工作臺上有一大堆導線、繼電器、燈泡和開關，臺下放着兩個笨重的鍾式電池，萬用表和其他幾種儀器則被丟在工作臺的角落裏。

    錢羽之熟練地來到工作臺前忙活起來，他首先從電池的正負極引出了導線，然後把燈泡連入電路，燈泡亮了。接着，他把兩個開關用導線連起來，又和燈泡、電池連在了一起。

    馮諾讓三名學生都去試一下，是不是只有2個開關都閉合時，燈泡才亮，如果有任意1個開關是斷開的，燈泡就熄滅。

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    下次更新：第七卷-兩廣攻略篇61節